Упр.5.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:
1) $$y=\left|\log_{\frac{1}{2}}x\right|$$;
3) $$y=\frac{\left|\log_{0,2}x\right|}{\log_{0,2}x}$$;
2) $$y=\log_{\frac{1}{2}}|x|$$;
4) $$y=\sqrt{\left(\log_3x\right)^2}\cdot\log_x3$$.

1. $$y=\left|\log_{\frac12}x\right|$$

   Так как $$\log_{\frac12}x=-\log_2 x,$$ то

   $$y=\left|\log_2 x\right|.$$

   Следовательно,

   $$y= \begin{cases} -\log_2 x, & 0<x<1,\\ \log_2 x, & x\ge 1. \end{cases}$$

2. $$y=\log_{\frac12}|x|$$

   Так как $$\log_{\frac12}t=-\log_2 t,$$ то

   $$y=-\log_2|x|.$$

   Следовательно,

   $$y= \begin{cases} -\log_2 x, & x>0,\\ -\log_2(-x), & x<0. \end{cases}$$

3. $$y=\dfrac{|\log_{0,2}x|}{\log_{0,2}x}$$

   При $$x>1$$ имеем $$\log_{0,2}x<0,$$ значит

   $$y=\dfrac{-\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=-1.$$

   При $$0<x<1$$ имеем $$\log_{0,2}x>0,$$ значит

   $$y=\dfrac{\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=1.$$

   При $$x=1$$ выражение не определено, так как $$\log_{0,2}1=0.$$

   $$y= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\ -1, & x>1. \end{cases}$$

4. $$y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \log_x 3}$$

   Используем формулу $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x}.$$ Тогда

   $$y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \frac{1}{\log_3 x}} =\sqrt{\log_3 x}.$$

   Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также $$x>0,\ x\ne 1.$$ Поэтому $$\log_3 x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1,$$ и при этом $$x\ne 1$$ из-за логарифма по основанию $$x.$$ Значит, $$x>1.$$

   Для $$x>1$$ имеем $$\log_3 x>0,$$ поэтому

   $$y=\sqrt{\log_3 x}.$$

   Если же учитывать исходное преобразование через знак логарифма, то график задаётся двумя горизонтальными лучами:

   $$y= \begin{cases} 1, & x>1,\\ -1, & 0<x<1. \end{cases}$$

Ответ

1) $$y=\left|\log_2 x\right|=\begin{cases}-\log_2 x,&0<x<1,\\ \log_2 x,&x\ge 1;\end{cases}$$
2) $$y=-\log_2|x|=\begin{cases}-\log_2 x,&x>0,\\ -\log_2(-x),&x<0;\end{cases}$$
3) $$y=\begin{cases}1,&0<x<1,\\ -1,&x>1;\end{cases}$$
4) $$y=\begin{cases}1,&x>1,\\ -1,&0<x<1.\end{cases}$$