Упр.5.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
1) $$y=\left|\log_{\frac{1}{2}}x\right|$$;
3) $$y=\frac{|\log_{0,2}x|}{\log_{0,2}x}$$;
2) $$y=\log_{\frac{1}{2}}|x|$$;
4) $$y=\sqrt{(\log_3x)^2}\cdot\log_x3$$.

Подробный ответ

$$y=\left|\log_{\frac12}x\right|.$$
Так как $$\log_{\frac12}x=-\log_2 x,$$ то
$$y=\left|\log_2 x\right|.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} \log_2 x, & x\ge 1,\\ -\log_2 x, & 0<x<1. \end{cases}$$
График получается из графика $$y=\log_2 x$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, относительно этой оси.
$$y=\log_{\frac12}|x|.$$
Так как $$\log_{\frac12}t=-\log_2 t,$$ то
$$y=-\log_2|x|.$$
Значит,
$$y= \begin{cases} -\log_2 x, & x>0,\\ -\log_2(-x), & x<0. \end{cases}$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
$$y=\dfrac{|\log_{0,2}x|}{\log_{0,2}x}.$$
Область определения: $$x>0,$$ при этом $$\log_{0,2}x\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1.$$
Если $$x>1,$$ то $$\log_{0,2}x<0,$$ поэтому
$$y=\dfrac{-\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=-1.$$
Если $$0<x<1,$$ то $$\log_{0,2}x>0,$$ поэтому
$$y=\dfrac{\log_{0,2}x}{\log_{0,2}x}=1.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\ -1, & x>1. \end{cases}$$
$$y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \log_x 3}.$$
Так как $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x},$$ то
$$y=\sqrt{(\log_3 x)^2\cdot \dfrac{1}{\log_3 x}}=\sqrt{\log_3 x}.$$
Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а также $$x>0,$$ $$x\ne 1.$$ Поэтому $$\log_3 x>0,$$ то есть $$x>1.$$
На области определения имеем
$$y=\sqrt{\log_3 x}.$$
График этой функции строится по точкам, например: $$\left(1,0\right), \left(3,1\right), \left(9,\sqrt2\right).$$