Упр.5.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\log_{\frac{1}{3}}4+\log_4\frac{1}{3}<-2$$.

Обозначим $$x=\log_{\frac13}4.$$ Тогда из $$\frac13<1<4$$ следует, что $$x<0.$$

Заметим, что

$$\log_4\frac13=\frac{1}{\log_{\frac13}4}=\frac{1}{x}.$$

Тогда

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13=x+\frac1x.$$

Рассмотрим разность с числом $$-2$$:

$$x+\frac1x+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x}.$$

Так как $$x<0$$, а $$(x+1)^2\ge 0,$$ то

$$\frac{(x+1)^2}{x}\le 0.$$

Следовательно,

$$x+\frac1x+2\le 0,$$

то есть

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13\le -2.$$

Причём равенство невозможно, так как $$x=\log_{\frac13}4\ne -1.$$ Значит,

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13<-2.$$

Ответ

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13<-2.$$