Упр.5.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 5.32. Докажите, что log_(1/3) 4+log_4 (1/3) < -2.

Обозначим

$$x=\log_{\frac13}4.$$

Тогда

$$\log_4\frac13=\frac{1}{\log_{\frac13}4}=\frac1x.$$

Нужно доказать, что

$$x+\frac1x<-2.$$

Так как $$\frac13<1$$ и $$4>1,$$ то

$$x=\log_{\frac13}4<-1.$$

Следовательно, $$x<0$$ и $$x+1<0.$$ Тогда

$$x+\frac1x+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x}.$$

Числитель $$ (x+1)^2>0,$$ а знаменатель $$x<0,$$ значит

$$\frac{(x+1)^2}{x}<0.$$

Отсюда

$$x+\frac1x+2<0,$$

то есть

$$x+\frac1x<-2.$$

Подставляя $$x=\log_{\frac13}4,$$ получаем

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13<-2.$$

Ответ

$$\log_{\frac13}4+\log_4\frac13<-2.$$