Упр.5.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сравните $$\log_2 3+\log_3 2$$ и $$2$$.

Обозначим $$x=\log_2 3.$$ Тогда по формуле перехода к новому основанию

$$\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}=\frac{1}{x}.$$

Нужно сравнить $$x+\frac{1}{x}$$ и $$2.$$

Так как $$3>2,$$ то $$\log_2 3>1,$$ значит $$x>1.$$

Рассмотрим разность:

$$x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}.$$

При $$x>1$$ имеем $$x>0$$ и $$(x-1)^2>0,$$ поэтому

$$\frac{(x-1)^2}{x}>0.$$

Следовательно,

$$\log_2 3+\log_3 2>2.$$

Ответ

$$\log_2 3+\log_3 2>2.$$