Упр.5.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Сколько корней имеет уравнение:
- 1) $$\left(\frac{1}{2}\right)^x=\log_2 x$$; 2) $$\log_2 x=\frac{1}{x}$$.
1) Рассмотрим уравнение $$\left(\frac12\right)^x=\log_2 x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает при $$x>0$$, а функция $$y=\log_2 x$$ возрастает при $$x>0.$$ Значит, графики могут пересечься не более чем в одной точке.
Проверим значение $$x=1$$:
$$\left(\frac12\right)^1=\frac12,\qquad \log_2 1=0.$$
При $$x=2$$:
$$\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad \log_2 2=1.$$
Следовательно, графики пересекаются один раз, значит уравнение имеет один корень.
2) Рассмотрим уравнение $$\log_2 x=\frac1x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а функция $$y=\frac1x$$ убывает при $$x>0.$$ Поэтому графики также могут пересечься не более чем в одной точке.
Проверим $$x=2$$:
$$\log_2 2=1,\qquad \frac1{2}=\frac12.$$
При $$x=1$$:
$$\log_2 1=0,\qquad \frac11=1.$$
Значит, пересечение есть, и оно единственное. Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ
1) один корень; 2) один корень.
