Упр.5.30 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (1/2)^x=log_2 x; 2) log_2 x=1/x.

1. Рассмотрим уравнение $$\left(\frac12\right)^x=\log_2 x.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\left(\frac12\right)^x$$ убывает, а функция $$y=\log_2 x$$ возрастает при $$x>0$$. Значит, графики могут пересечься не более чем в одной точке.

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$\left(\frac12\right)^1=\frac12,\qquad \log_2 1=0.$$

   Это не корень, но по графику видно, что пересечение есть ровно одно. Следовательно, уравнение имеет один корень.

2. Рассмотрим уравнение $$\log_2 x=\frac1x.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает, а функция $$y=\frac1x$$ убывает при $$x>0$$. Поэтому графики пересекаются не более чем в одной точке.

   Проверим значение $$x=2$$:

   $$\log_2 2=1,\qquad \frac1{2}=\frac12.$$

   Это не корень, но по графику видно, что пересечение есть ровно одно. Значит, уравнение имеет один корень.

Ответ

1) один корень; 2) один корень.