Упр.5.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=1/lg x; 3) f(x)=log_2 cos(x);
2) f(x)=4/log_5 (10-x); 4) f(x)=log_3 tg(x).

1. $$f(x)=\frac{1}{\lg x}$$

   Для существования функции нужно, чтобы логарифм был определён и не равнялся нулю:

   $$x>0,\quad \lg x\ne 0.$$

   Из $$\lg x=0$$ получаем $$x=1$$. Значит,

   $$x>0,\quad x\ne 1.$$

   Следовательно,

   $$D(f)=(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2. $$f(x)=\frac{4}{\log_5(10-x)}$$

   Нужно, чтобы логарифм был определён и не равнялся нулю:

   $$10-x>0,\quad \log_5(10-x)\ne 0.$$

   Из первого неравенства получаем $$x<10$$, а из второго:

   $$\log_5(10-x)=0 \iff 10-x=1 \iff x=9.$$

   Значит,

   $$D(f)=(-\infty;9)\cup(9;10).$$

3. $$f(x)=\log_2(\cos x)$$

   Для существования логарифма нужно:

   $$\cos x>0.$$

   Это выполняется при

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$D(f)=\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$f(x)=\log_3(\tg x)$$

   Для существования функции нужно, чтобы

   $$\tg x>0.$$

   Тогда

   $$\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$D(f)=\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$ (0;1)\cup(1;+\infty) $$;

2) $$ (-\infty;9)\cup(9;10) $$;

3) $$ \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z $$;

4) $$ \left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z $$.