Упр.434 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите интеграл:

1. 1) $$\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}}\sqrt{12-x^2}\,dx$$; 2) $$\int_{-1}^{1}(1-|x|)\,dx$$.

1) $$\int\limits_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12-x^2}\,dx$$

Подынтегральная функция задаёт верхнюю полуокружность:

$$x^2+y^2=12,\quad R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Тогда данный интеграл равен площади полукруга радиуса $$2\sqrt{3}$$:

$$S=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 12=6\pi.$$

2) $$\int\limits_{-1}^{1} (1-|x|)\,dx$$

Функция $$y=1-|x|$$ на отрезке $$[-1;1]$$ задаёт равнобедренный треугольник с основанием $$2$$ и высотой $$1$$.

Его площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1.$$

Ответ

$$1)\ 6\pi;\qquad 2)\ 1.$$