Упр.431 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 431. Задайте формулой функцию f, график которой проходит через точку A(4; 3), если угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке х из ее области определения равен 1/vx.

Так как угловой коэффициент касательной к графику функции в любой точке равен $$\frac{1}{\sqrt{x}},$$ то

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}.$$

Найдём первообразную:

$$f(x)=\int x^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x}+C.$$

График проходит через точку $$A(4;3),$$ значит

$$f(4)=3.$$

Подставим координаты точки:

$$2\sqrt{4}+C=3$$

$$4+C=3$$

$$C=-1.$$

Следовательно, искомая функция:

$$f(x)=2\sqrt{x}-1.$$

Ответ

$$f(x)=2\sqrt{x}-1$$