Упр.429 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=2x+4, I=(-?; +?), M(2; 1);
2) f(x)=4x^3-2x+3, I=(-?; +?), M(1; 8);
3) f(x)=1/2 cos(x/2)-5sin(5x), I=(-?; +?), M(?; 0);
4) f(x)=2/v(1-2x), I=(-?; 1/2), M(-4; 1);
5) f(x)=6x^2+e^(x/4), I=(-?; +?), M(2; 4ve);
6) f(x)=(5x-3)^4, I=(-?; +?), M(1; 1).

1. $$f(x)=2x+4,\quad M(2;1)$$

   Найдём первообразную:

   $$F(x)=\int (2x+4)\,dx=x^2+4x+C.$$

   Подставим точку $$M(2;1)$$:

   $$F(2)=4+8+C=1,$$

   $$C=-11.$$

   Значит,

   $$F(x)=x^2+4x-11.$$

2. $$f(x)=4x^3-2x+3,\quad M(1;8)$$

   $$F(x)=\int (4x^3-2x+3)\,dx=x^4-x^2+3x+C.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$F(1)=1-1+3+C=8,$$

   $$C=5.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=x^4-x^2+3x+5.$$

3. $$f(x)=\frac12\cos\frac{x}{2}-5\sin 5x,\quad M(\pi;0)$$

   $$F(x)=\int \left(\frac12\cos\frac{x}{2}-5\sin 5x\right)dx=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x+C.$$

   Подставим точку $$M(\pi;0)$$:

   $$F(\pi)=\sin\frac{\pi}{2}+\cos 5\pi+C=1-1+C=0,$$

   $$C=0.$$

   Итак,

   $$F(x)=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x.$$

4. $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-2x}},\quad M(-4;1)$$

   $$F(x)=\int \frac{2}{\sqrt{1-2x}}\,dx=-2\sqrt{1-2x}+C.$$

   Подставим $$x=-4$$:

   $$F(-4)=-2\sqrt{1+8}+C=1,$$

   $$-6+C=1,\quad C=7.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-2\sqrt{1-2x}+7.$$

5. $$f(x)=6x^2+e^{x/4},\quad M(2;4\sqrt e)$$

   $$F(x)=\int \left(6x^2+e^{x/4}\right)dx=2x^3+4e^{x/4}+C.$$

   Подставим точку $$M(2;4\sqrt e)$$:

   $$F(2)=2\cdot 8+4e^{1/2}+C=4\sqrt e,$$

   $$16+4\sqrt e+C=4\sqrt e,\quad C=-16.$$

   Значит,

   $$F(x)=2x^3+4e^{x/4}-16.$$

6. $$f(x)=(5x-3)^4,\quad M(1;1)$$

   $$F(x)=\int (5x-3)^4\,dx=\frac{(5x-3)^5}{25}+C.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$F(1)=\frac{(5-3)^5}{25}+C=1,$$

   $$\frac{32}{25}+C=1,\quad C=-\frac{7}{25}.$$

   Итак,

   $$F(x)=\frac{(5x-3)^5-7}{25}.$$

Ответ

1) $$F(x)=x^2+4x-11$$; 2) $$F(x)=x^4-x^2+3x+5$$; 3) $$F(x)=\sin\frac{x}{2}+\cos 5x$$; 4) $$F(x)=-2\sqrt{1-2x}+7$$; 5) $$F(x)=2x^3+4e^{x/4}-16$$; 6) $$F(x)=\frac{(5x-3)^5-7}{25}$$.