Упр.428 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x-2/x^5 на промежутке (-?; 0);
2) f(x)=3/x^4+1/(2vx) на промежутке (0; +?);
3) f(x)=2/(cos(2x))^2+3/(sin(3x))^2 на промежутке (?/4; ?/3);
4) f(x)=2+4/(x-1) на промежутке (-?; 1);
5) f(x)=e^(5x)-7e^(-4x) на промежутке (-?; +?);
6) f(x)=1/v(2x+1)-cos(x/4) на промежутке (-1/2; +?).

1. $$f(x)=x-\frac{2}{x^5}, \quad x\in(-\infty;0)$$

   Найдём первообразную по частям:

   $$\int \left(x-\frac{2}{x^5}\right)\,dx=\int x\,dx-2\int x^{-5}\,dx$$

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}-2\cdot\frac{x^{-4}}{-4}+C=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^4}+C$$

2. $$f(x)=\frac{3}{x^4}+\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x\in(0;+\infty)$$

   $$\int \left(\frac{3}{x^4}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\,dx=3\int x^{-4}\,dx+\frac12\int x^{-1/2}\,dx$$

   $$F(x)=3\cdot\frac{x^{-3}}{-3}+\frac12\cdot 2\sqrt{x}+C=-\frac{1}{x^3}+\sqrt{x}+C$$

3. $$f(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}+\frac{3}{\sin^2 3x}, \quad \frac{\pi}{4}

   Используем формулы:

   $$\int \frac{dx}{\cos^2 u}=\int \sec^2 u\,dx=\tg u,\qquad \int \frac{dx}{\sin^2 u}=\int \csc^2 u\,dx=-\ctg u$$

   Тогда

   $$F(x)=2\cdot \frac12 \tg 2x+3\cdot\left(-\frac13 \ctg 3x\right)+C$$

   $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C$$

4. $$f(x)=2+\frac{4}{x-1}, \quad x<1$$

   На данном промежутке $$x-1<0$$, поэтому

   $$\int \frac{4}{x-1}\,dx=4\ln|x-1|=4\ln(1-x)$$

   Следовательно,

   $$F(x)=2x+4\ln(1-x)+C$$

5. $$f(x)=e^{5x}-7e^{-4x}, \quad x\in\mathbb{R}$$

   $$\int \left(e^{5x}-7e^{-4x}\right)\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}-7\cdot\left(-\frac14 e^{-4x}\right)+C$$

   $$F(x)=\frac15 e^{5x}+\frac74 e^{-4x}+C$$

6. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}-\cos\frac{x}{4}, \quad x>-\frac12$$

   $$\int \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}=\sqrt{2x+1}$$

   $$\int \cos\frac{x}{4}\,dx=4\sin\frac{x}{4}$$

   Тогда

   $$F(x)=\sqrt{2x+1}-4\sin\frac{x}{4}+C$$

Ответ

1. $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^4}+C$$
2. $$F(x)=-\frac{1}{x^3}+\sqrt{x}+C$$
3. $$F(x)=\tg 2x-\ctg 3x+C$$
4. $$F(x)=2x+4\ln(1-x)+C$$
5. $$F(x)=\frac15 e^{5x}+\frac74 e^{-4x}+C$$
6. $$F(x)=\sqrt{2x+1}-4\sin\frac{x}{4}+C$$