Упр.427 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=x^3-9x; 5) f(x)=4+x^2-1/4 x^4;
2) f(x)=x^4-2x^2-3; 6) f(x)=x^2/(x^2-4);
3) f(x)=6x^2-2x^3; 7) f(x)=x^2+1/x^2;
4) f(x)=(x^2-2)^2; 8) f(x)=x^2/(x^2+2).
1) $$f(x)=x^3-9x$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=3x^2-9=3(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\le -\sqrt3 \text{ или } x\ge \sqrt3$$
$$f'(-\sqrt3)=0,\quad f'(\sqrt3)=0$$
$$f(-\sqrt3)=6\sqrt3,\quad f(\sqrt3)=-6\sqrt3$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
Нули функции:
$$x^3-9x=x(x-3)(x+3)=0$$
$$x=-3,\;0,\;3$$
$$E(f)=(-\infty;+\infty)$$
2) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-1;0]\cup[1;+\infty)$$
$$f(-1)=f(1)=-4,\quad f(0)=-3$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нули функции:
$$x^4-2x^2-3=0$$
$$t=x^2,\quad t^2-2t-3=0,\quad (t-3)(t+1)=0$$
$$x=\pm\sqrt3$$
$$E(f)=[-4;+\infty)$$
3) $$f(x)=6x^2-2x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=12x-6x^2=6x(2-x)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[0;2]$$
$$f(0)=0,\quad f(2)=8$$
Нули функции:
$$6x^2-2x^3=2x^2(3-x)=0$$
$$x=0,\;3$$
$$E(f)=(-\infty;+\infty)$$
4) $$f(x)=(x^2-2)^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-\sqrt2;0]\cup[\sqrt2;+\infty)$$
$$f(-\sqrt2)=0,\quad f(\sqrt2)=0,\quad f(0)=4$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нули функции:
$$ (x^2-2)^2=0 \iff x=\pm\sqrt2 $$
$$E(f)=[0;+\infty)$$
5) $$f(x)=4+x^2-\frac14x^4$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=2x-x^3=x(2-x^2)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup[0;\sqrt2]$$
$$f(0)=4,\quad f(\pm\sqrt2)=5$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нули функции:
$$4+x^2-\frac14x^4=0$$
$$x^4-4x^2-16=0$$
$$t=x^2,\quad t^2-4t-16=0,\quad t=2\pm2\sqrt5$$
Подходит только $$t=2+2\sqrt5$$, значит
$$x=\pm\sqrt{2+2\sqrt5}$$
$$E(f)=(-\infty;5]$$
6) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-x^2\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\le 0,\; x\ne -2$$
$$f(0)=0$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нули функции:
$$\frac{x^2}{x^2-4}=0 \iff x=0$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2-4}=1$$
$$E(f)=(-\infty;0]\cup(1;+\infty)$$
7) $$f(x)=x^2+\frac1{x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^3}=\frac{2(x^4-1)}{x^3}=\frac{2(x^2-1)(x^2+1)}{x^3}$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\in[-1;0)\cup[1;+\infty)$$
$$f(-1)=f(1)=2$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нулей нет, так как $$x^2+\frac1{x^2}>0$$ при всех $$x\ne 0$$.
$$E(f)=[2;+\infty)$$
8) $$f(x)=\frac{x^2}{x^2+2}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2+2)-x^2\cdot2x}{(x^2+2)^2}=\frac{4x}{(x^2+2)^2}$$
$$f'(x)\ge 0 \iff x\ge 0$$
$$f(0)=0$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Нули функции:
$$\frac{x^2}{x^2+2}=0 \iff x=0$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+2}=1$$
$$E(f)=[0;1)$$
Ответ
1) $$D=\mathbb R,\ E=(-\infty;+\infty),\ x=-3,0,3$$;
2) $$D=\mathbb R,\ E=[-4;+\infty),\ x=\pm\sqrt3$$;
3) $$D=\mathbb R,\ E=(-\infty;+\infty),\ x=0,3$$;
4) $$D=\mathbb R,\ E=[0;+\infty),\ x=\pm\sqrt2$$;
5) $$D=\mathbb R,\ E=(-\infty;5],\ x=\pm\sqrt{2+2\sqrt5}$$;
6) $$D=\mathbb R\setminus\{-2,2\},\ E=(-\infty;0]\cup(1;+\infty),\ x=0$$;
7) $$D=\mathbb R\setminus\{0\},\ E=[2;+\infty)$$;
8) $$D=\mathbb R,\ E=[0;1),\ x=0$$.
