Упр.426 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 426. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$. Тогда его диагональ равна диаметру окружности:

$$x^2+y^2=50^2=2500.$$

Площадь прямоугольника:

$$S=xy.$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=\sqrt{2500-x^2}.$$

Тогда

$$S(x)=x\sqrt{2500-x^2}, \quad 0<x<50.$$

Найдём максимум функции. Удобно рассмотреть квадрат площади:

$$S^2=x^2(2500-x^2)=2500x^2-x^4.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$S^2=2500t-t^2.$$

Это квадратная функция, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$t=\frac{2500}{2}=1250.$$

Следовательно,

$$x^2=1250,\quad y^2=1250,\quad x=y=25\sqrt{2}.$$

Тогда наибольшая площадь:

$$S_{\max}=25\sqrt{2}\cdot 25\sqrt{2}=1250.$$

Ответ

$$1250\ \text{см}^2$$