Упр.425 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 425. Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба принимает наименьшее значение.

Пусть $$y=x-\frac13x^3,$$ где $$x<0.$$ Нужно найти отрицательное число, при котором функция принимает наименьшее значение.

Найдём производную:

$$y'(x)=1-\frac13\cdot 3x^2=1-x^2.$$

Исследуем знак производной:

$$y'(x)=0 \iff 1-x^2=0 \iff x=\pm 1.$$

На промежутке $$x<0$$ рассматриваем критическую точку $$x=-1.$$

При $$x<-1$$ имеем $$x^2>1,$$ значит $$y'(x)<0,$$ а при $$-1<x<0$$ имеем $$x^2<1,$$ значит $$y'(x)>0.$$

Следовательно, в точке $$x=-1$$ функция убывает, а затем возрастает, то есть принимает наименьшее значение.

Ответ

$$-1$$