Упр.424 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 424. Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Подробный ответ

Пусть искомые числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$x+y=20,\qquad x\ge 0,\ y\ge 0.$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y=20-x.$$

Тогда сумма кубов равна

$$f(x)=x^3+y^3=x^3+(20-x)^3,$$

где $$0\le x\le 20.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3(20-x)^2.$$

Преобразуем:

$$f'(x)=3\bigl(x^2-(20-x)^2\bigr)=3(2x-20)(20).$$

Удобнее сравнить с нулём напрямую:

$$3x^2-3(20-x)^2\ge 0 \iff x^2\ge (20-x)^2 \iff x\ge 10.$$

Значит, на отрезке $$[0,20]$$ функция $$f(x)$$ убывает при $$0\le x\le 10$$ и возрастает при $$10\le x\le 20$$. Следовательно, наименьшее значение достигается при

$$x=10,\qquad y=20-10=10.$$