Упр.423 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 423. Представьте число 15 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе число было наибольшим.

Пусть первое число равно $$x$$, тогда второе число равно $$15-x$$, где $$0 \le x \le 15$$.

Тогда искомое произведение:

$$f(x)=x^2(15-x).$$

Найдём максимум функции на отрезке $$[0;15]$$:

$$f'(x)=2x(15-x)-x^2=30x-3x^2=3x(10-x).$$

Критические точки:

$$3x(10-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=10.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f(0)=0,$$

$$f(10)=10^2\cdot 5=500,$$

$$f(15)=15^2\cdot 0=0.$$

Наибольшее значение достигается при $$x=10$$, тогда второе число:

$$15-10=5.$$

Следовательно, число $$15$$ нужно представить в виде суммы $$10$$ и $$5$$.

Ответ

$$15=10+5.$$