Упр.422 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x^3-3x^2-9x-4 на промежутке [-2; 0];
2) f(x)=(x-1)/(x+1) на промежутке [0; 4];
3) f(x)=cos(x)-sin(x) на промежутке [0; 2?];
4) f(x)=v(8x-x^2) на её области определения;
5) f(x)=2x/(x^2+1) на промежутке [-2; 1/2].

Подробный ответ

$$f(x)=x^3-3x^2-9x-4,\quad x\in[-2;0].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$
Критические точки на отрезке: $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=-8-12+18-4=-6,$$
$$f(-1)=-1-3+9-4=1,$$
$$f(0)=-4.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$1,$$ наименьшее — $$-6.$$
$$f(x)=\frac{x-1}{x+1},\quad x\in[0;4].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}>0.$$
Значит, функция возрастает на отрезке $$[0;4].$$ Тогда
$$f(0)=\frac{-1}{1}=-1,$$
$$f(4)=\frac{3}{5}.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-1,$$ наибольшее — $$\frac35.$$
$$f(x)=\cos x-\sin x,\quad x\in[0;2\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\sin x-\cos x=0,$$
$$\sin x+\cos x=0,$$
$$\tan x=-1.$$
Отсюда на отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=1,$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}-\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2,$$
$$f\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\cos\frac{7\pi}{4}-\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,$$
$$f(2\pi)=1.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\sqrt2,$$ наибольшее — $$\sqrt2.$$
$$f(x)=\sqrt{8x-x^2}.$$
Область определения задаётся неравенством:
$$8x-x^2\ge 0,$$
$$x(8-x)\ge 0,$$
$$x\in[0;8].$$
Найдём производную на внутренности области определения:
$$f'(x)=\frac{8-2x}{2\sqrt{8x-x^2}}.$$
Критическая точка:
$$8-2x=0,\quad x=4.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=0,$$
$$f(4)=\sqrt{32-16}=4,$$
$$f(8)=0.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее — $$4.$$
$$f(x)=\frac{2x}{x^2+1},\quad x\in\left[-2;\frac12\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}.$$
Критические точки:
$$2-2x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm1.$$
На отрезке $$\left[-2;\frac12\right]$$ лежит только точка $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-2)=\frac{-4}{5},$$
$$f(-1)=\frac{-2}{2}=-1,$$
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac14+1}=\frac45.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-1,$$ наибольшее — $$\frac45.$$