Упр.421 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. $$f(x)=-8x^3-x^2+2x$$

   $$f'(x)=-24x^2-2x+2=-2(12x^2+x-1)=-2(3x-1)(4x+1)$$

   $$f'(x)=0 \iff x=-\frac13,\ \frac14$$

   Знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ на } \left[-\frac13;\frac14\right], \qquad f'(x)<0 \text{ на } \left(-\infty;-\frac13\right]\cup\left[\frac14;+\infty\right)$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac13;\frac14\right]$$, убывает на $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup\left[\frac14;+\infty\right)$$.

   $$x_{\min}=-\frac13,\qquad x_{\max}=\frac14$$

2. $$f(x)=x^3+2x-10$$

   $$f'(x)=3x^2+2>0 \text{ при всех } x\in\mathbb R$$

   Функция возрастает на всей числовой прямой, точек экстремума нет.

3. $$f(x)=x^5-5x^4+2$$

   $$f'(x)=5x^4-20x^3=5x^3(x-4)$$

   Критические точки: $$x=0,\ 4$$.

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;0]\cup[4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } [0;4]$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[0;4]$$.

   $$x_{\max}=0,\qquad x_{\min}=4$$

4. $$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{4}{x}, \qquad x\ne 0$$

   $$f'(x)=\frac14-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-16}{4x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{4x^2}$$

   Критические точки: $$x=-4,\ 4$$.

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-4]\cup[4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } [-4;0)\cup(0;4]$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[-4;0)\cup(0;4]$$.

   $$x_{\max}=-4,\qquad x_{\min}=4$$

5. $$f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}, \qquad x\ne 0$$

   $$f'(x)=2x-\frac{2}{x^3}=\frac{2x^4-2}{x^3}=\frac{2(x^2-1)(x^2+1)}{x^3}$$

   Критические точки: $$x=-1,\ 1$$.

   $$f'(x)>0 \text{ на } [-1;0)\cup[1;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1]\cup(0;1]$$

   Функция возрастает на $$[-1;0)\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup(0;1]$$.

   $$x_{\min}=-1,\qquad x_{\max}=1$$

6. $$f(x)=\frac{5-2x}{x^2-4}, \qquad x\ne \pm 2$$

   $$f'(x)=\frac{-2(x^2-4)-(5-2x)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\frac{2(x^2-5x+4)}{(x^2-4)^2}=\frac{2(x-1)(x-4)}{(x-2)^2(x+2)^2}$$

   Критические точки: $$x=1,\ 4$$.

   $$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(-2;1]\cup[4;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ на } [1;2)\cup(2;4]$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;1]\cup[4;+\infty)$$, убывает на $$[1;2)\cup(2;4]$$.

   $$x_{\max}=1,\qquad x_{\min}=4$$

7. $$f(x)=\frac{x^3}{x^3+8}, \qquad x\ne -2$$

   $$f'(x)=\frac{3x^2(x^3+8)-x^3\cdot 3x^2}{(x^3+8)^2}=\frac{24x^2}{(x^3+8)^2}\ge 0$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$. Точек экстремума нет.

8. $$f(x)=(1-x)e^{-x}$$

   $$f'(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=e^{-x}(x-2)$$

   Так как $$e^{-x}>0$$, то знак $$f'(x)$$ определяется выражением $$x-2$$.

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2$$

   Функция убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$.

   $$x_{\min}=2$$

9. $$f(x)=\frac{x}{e}-e^x$$

   $$f'(x)=\frac1e-e^x$$

   $$f'(x)=0 \iff e^x=\frac1e \iff x=-1$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>-1$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$, убывает на $$[-1;+\infty)$$.

   $$x_{\max}=-1$$

10. $$f(x)=x^2-8\ln x, \qquad x>0$$

    $$f'(x)=2x-\frac{8}{x}=\frac{2x^2-8}{x}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x}$$

    На области определения $$x>0$$ знак производной определяется множителем $$x-2$$.

    $$f'(x)<0 \text{ при } 0<x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2$$

    Функция убывает на $$(0;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$.

    $$x_{\min}=2$$

11. $$f(x)=\sqrt{x}(\ln x-4), \qquad x>0$$

    $$f'(x)=\frac{\ln x-4}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\cdot\frac1x=\frac{\ln x-2}{2\sqrt{x}}$$

    Так как $$2\sqrt{x}>0$$, то

    $$f'(x)\ge 0 \iff \ln x\ge 2 \iff x\ge e^2$$

    Функция убывает на $$(0;e^2]$$, возрастает на $$[e^2;+\infty)$$.

    $$x_{\min}=e^2$$

12. $$f(x)=\frac{\ln x+2}{\sqrt{x}}, \qquad x>0$$

    $$f'(x)=\frac{\frac1x\sqrt{x}-(\ln x+2)\cdot\frac1{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2}=\frac{2-\ln x-2}{2x\sqrt{x}}=-\frac{\ln x}{2x\sqrt{x}}$$

    Так как $$2x\sqrt{x}>0$$, то

    $$f'(x)>0 \iff \ln x<0 \iff 0<x<1$$

    Функция возрастает на $$(0;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$.

    $$x_{\max}=1$$

Ответ

1. $$\uparrow \left[-\frac13;\frac14\right],\ \downarrow \left(-\infty;-\frac13\right]\cup\left[\frac14;+\infty\right),\ x_{\min}=-\frac13,\ x_{\max}=\frac14$$
2. $$\uparrow \mathbb R,\ \text{экстремумов нет}$$
3. $$\uparrow (-\infty;0]\cup[4;+\infty),\ \downarrow [0;4],\ x_{\max}=0,\ x_{\min}=4$$
4. $$\uparrow (-\infty;-4]\cup[4;+\infty),\ \downarrow [-4;0)\cup(0;4],\ x_{\max}=-4,\ x_{\min}=4$$
5. $$\uparrow [-1;0)\cup[1;+\infty),\ \downarrow (-\infty;-1]\cup(0;1],\ x_{\min}=-1,\ x_{\max}=1$$
6. $$\uparrow (-\infty;-2)\cup(-2;1]\cup[4;+\infty),\ \downarrow [1;2)\cup(2;4],\ x_{\max}=1,\ x_{\min}=4$$
7. $$\uparrow (-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),\ \text{экстремумов нет}$$
8. $$\downarrow (-\infty;2],\ \uparrow [2;+\infty),\ x_{\min}=2$$
9. $$\uparrow (-\infty;-1],\ \downarrow [-1;+\infty),\ x_{\max}=-1$$
10. $$\downarrow (0;2],\ \uparrow [2;+\infty),\ x_{\min}=2$$
11. $$\downarrow (0;e^2],\ \uparrow [e^2;+\infty),\ x_{\min}=e^2$$
12. $$\uparrow (0;1],\ \downarrow [1;+\infty),\ x_{\max}=1$$