Упр.42.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Пусть случайная величина $$x$$ имеет показательное распределение. Докажите, что случайная величина $$y=[x]$$, где $$[x]$$ — целая часть $$x$$, имеет геометрическое распределение.

Пусть случайная величина $$x$$ имеет показательное распределение с плотностью

$$f(x)=ae^{-ax}, \quad x\ge 0,\ a>0.$$

Рассмотрим случайную величину $$y=[x]$$, где $$[x]$$ — целая часть числа $$x$$. Тогда событие $$\{y=k\}$$ равносильно неравенству

$$k\le x<k+1.$$

Следовательно, при $$k=0,1,2,\dots$$

$$P(y=k)=P(k\le x<k+1)=\int_k^{k+1} ae^{-ax}\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_k^{k+1} ae^{-ax}\,dx = \left[-e^{-ax}\right]_k^{k+1} = -e^{-a(k+1)}+e^{-ak}.$$

Тогда

$$P(y=k)=e^{-ak}\left(1-e^{-a}\right), \quad k=0,1,2,\dots$$

Это распределение имеет вид

$$P(y=k)=p(1-p)^k,$$

где $$p=1-e^{-a}$$, то есть $$y$$ имеет геометрическое распределение.

Ответ

$$P(y=k)=e^{-ak}\left(1-e^{-a}\right), \quad k=0,1,2,\dots,$$

следовательно, $$y=[x]$$ имеет геометрическое распределение.