Упр.416 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $$f(x)=v(3x^2-8)$$, которая параллельна прямой $$y=3x+5$$.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{3x^2-8}.$$

$$f'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-8}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}.$$

Так как касательная параллельна прямой $$y=3x+5,$$ её угловой коэффициент равен $$3.$$ Тогда

$$\frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}=3.$$

Сократим на $$3$$:

$$\frac{x}{\sqrt{3x^2-8}}=1,$$
$$x=\sqrt{3x^2-8}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=3x^2-8,$$
$$2x^2=8,$$
$$x^2=4,$$
$$x=2 \text{ или } x=-2.$$

Но из уравнения $$x=\sqrt{3x^2-8}$$ следует, что $$x\ge 0,$$ значит подходит только $$x=2.$$

Найдём точку касания:

$$f(2)=\sqrt{3\cdot 4-8}=\sqrt{4}=2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=3(x-2),$$
$$y=3x-4.$$

Найдём отрезки, которые эта прямая отсекает на осях координат:

$$3x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3},$$
$$y(0)=-4.$$

Значит, треугольник имеет катеты $$\frac{4}{3}$$ и $$4.$$ Тогда его площадь равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}.$$

Ответ

$$\frac{8}{3}$$