Упр.416 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 416. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции f(x)=v(3x^2-8), которая параллельна прямой y=3x+5.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{3x^2-8}.$$

$$ f'(x)=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-8}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}. $$

Так как касательная параллельна прямой $$y=3x+5,$$ её угловой коэффициент равен $$3.$$ Тогда

$$ \frac{3x}{\sqrt{3x^2-8}}=3. $$

Сократим на $$3$$:

$$ \frac{x}{\sqrt{3x^2-8}}=1, $$
$$ x=\sqrt{3x^2-8}. $$

Возведём в квадрат:

$$ x^2=3x^2-8, $$
$$ 2x^2=8, $$
$$ x^2=4, $$
$$ x=2 \text{ или } x=-2. $$

Но из уравнения $$x=\sqrt{3x^2-8}$$ следует, что $$x\ge 0,$$ значит подходит только $$x=2.$$

Найдём точку касания:

$$ f(2)=\sqrt{3\cdot 4-8}=\sqrt{4}=2. $$

Уравнение касательной:

$$ y-2=3(x-2), $$
$$ y=3x-4. $$

Найдём отрезки, которые эта прямая отсекает на осях координат:

$$ 3x-4=0 \Rightarrow x=\frac{4}{3}, $$
$$ y(0)=-4. $$

Значит, треугольник имеет катеты $$\frac{4}{3}$$ и $$4.$$ Тогда его площадь равна

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot 4=\frac{8}{3}. $$

Ответ

$$\frac{8}{3}$$