Упр.415 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f(x)=x^4-4x^3+5x$$, которая параллельна прямой $$y=5x-8$$.

Касательная к графику функции $$f(x)=x^4-4x^3+5x$$ должна быть параллельна прямой $$y=5x-8$$, значит, её угловой коэффициент равен $$5$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-12x^2+5.$$

Приравняем её к 5:

$$4x^3-12x^2+5=5,$$

$$4x^3-12x^2=0,$$

$$4x^2(x-3)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=3.$$

Найдём уравнения касательных.

1) При $$x=0$$:

$$f(0)=0,$$

поэтому касательная проходит через точку $$\bigl(0,0\bigr)$$ и имеет вид

$$y=5x.$$

2) При $$x=3$$:

$$f(3)=3^4-4\cdot 3^3+5\cdot 3=81-108+15=-12,$$

поэтому касательная проходит через точку $$\bigl(3,-12\bigr)$$ и имеет вид

$$y+12=5(x-3),$$

$$y=5x-27.$$

Ответ

$$y=5x$$; $$y=5x-27$$.