Упр.413 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 413. Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции f(x)=(x+4)/(x-5), угловой коэффициент которых равен -1.

Найдём производную функции $$f(x)=\frac{x+4}{x-5}$$:

$$f'(x)=\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2}=\frac{-9}{(x-5)^2}.$$

По условию угловой коэффициент касательной равен $$-1$$, значит

$$\frac{-9}{(x-5)^2}=-1.$$

Тогда

$$9=(x-5)^2,$$

$$x-5=\pm 3,$$

$$x_1=2,\quad x_2=8.$$

Найдём точки касания:

$$f(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2,$$

$$f(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4.$$

Уравнения касательных с угловым коэффициентом $$-1$$:

при $$x=2$$:

$$y+2=-1(x-2),$$

$$y=-x,$$

при $$x=8$$:

$$y-4=-1(x-8),$$

$$y=12-x.$$

Найдём точки пересечения с осями координат.

Для $$y=-x$$:

при $$x=0$$ получаем $$y=0$$, при $$y=0$$ получаем $$x=0$$, значит точка пересечения с обеими осями — $$\left(0;0\right)$$.

Для $$y=12-x$$:

при $$x=0$$ получаем $$y=12$$, значит пересечение с осью $$Oy$$ — $$\left(0;12\right)$$;

при $$y=0$$ получаем $$x=12$$, значит пересечение с осью $$Ox$$ — $$\left(12;0\right)$$.

Ответ

$$\left(0;0\right),\ \left(0;12\right),\ \left(12;0\right).$$