Упр.410 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой $$x_0$$:
1) $$f(x)=\sin(2x),\ x_0=\frac{?}{6}$$;
3) $$f(x)=\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{?}{12}\right),\ x_0=?$$;
2) $$f(x)=\frac{2}{x},\ x_0=-2$$;
4) $$f(x)=(x-1)v(2x+1),\ x_0=4$$.

Подробный ответ

$$f(x)=\sin 2x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos 2x.$$
Вычислим значение функции и производной в точке $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:
$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$
$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\sqrt3}{2}=1\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$
$$y=x-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$f(x)=\frac{2}{x},\quad x_0=-2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}.$$
Вычислим значение функции и производной:
$$f(-2)=\frac{2}{-2}=-1,$$
$$f'(-2)=-\frac{2}{(-2)^2}=-\frac12.$$
Уравнение касательной:
$$y+1=-\frac12(x+2).$$
$$y=-\frac12x-2.$$
$$f(x)=\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right),\quad x_0=\pi.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac13\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{12}\right).$$
Вычислим значение функции и производной:
$$f(\pi)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
$$f'(\pi)=-\frac13\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{6}.$$
Уравнение касательной:
$$y-\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{6}(x-\pi).$$
$$y=-\frac{\sqrt2}{6}x+\frac{\pi\sqrt2}{6}+\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$f(x)=(x-1)\sqrt{2x+1},\quad x_0=4.$$
Найдём производную по правилу произведения:
$$f'(x)=\sqrt{2x+1}+(x-1)\cdot\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\sqrt{2x+1}+\frac{x-1}{\sqrt{2x+1}}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$f'(x)=\frac{2x+1+x-1}{\sqrt{2x+1}}=\frac{3x}{\sqrt{2x+1}}.$$
Вычислим значение функции и производной:
$$f(4)=3\sqrt9=9,$$
$$f'(4)=\frac{12}{3}=4.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=4(x-4).$$
$$y=4x-7.$$