Упр.41.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Автомат штампует металлические круглые шайбы для велосипедов. Шайбу можно использовать, если её радиус лежит в диапазоне от $$1{,}98$$ до $$2{,}03$$ см. Оцените математическое ожидание и стандартное отклонение радиуса шайб, произведённых этим автоматом, если известно, что $$3\%$$ шайб оказываются слишком маленькими, а $$2\%$$ — слишком большими.

Подробный ответ

Пусть радиус шайбы — случайная величина $$x$$, распределённая нормально с математическим ожиданием $$\mu$$ и стандартным отклонением $$\sigma$$.

Из условия:

$$P(x \le 1{,}98)=0{,}03,$$

$$P(x \ge 2{,}03)=0{,}02.$$

Для стандартной нормальной величины $$z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$$ получаем:

$$P\!\left(z \le \frac{1{,}98-\mu}{\sigma}\right)=0{,}03,$$
$$P\!\left(z \ge \frac{2{,}03-\mu}{\sigma}\right)=0{,}02.$$

По таблице значений функции Лапласа:

$$P(0 \le z \le 1{,}88)=0{,}47,$$
$$P(0 \le z \le 2{,}05)=0{,}48.$$

Тогда

$$\frac{\mu-1{,}98}{\sigma}=1{,}88,$$
$$\frac{2{,}03-\mu}{\sigma}=2{,}05.$$

Сложим уравнения:

$$\frac{\mu-1{,}98}{\sigma}+\frac{2{,}03-\mu}{\sigma}=1{,}88+2{,}05,$$
$$\frac{0{,}05}{\sigma}=3{,}93,$$
$$\sigma=\frac{0{,}05}{3{,}93}\approx 0{,}0127.$$

Теперь найдём $$\mu$$:

$$\mu=1{,}98+1{,}88\cdot 0{,}0127\approx 2{,}004.$$