Упр.41.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Монету подбросили $$5000$$ раз. Оцените, с какой вероятностью частота выпадения герба находится в диапазоне от $$48\%$$ до $$52\%$$.

Пусть $$x$$ — число выпадений герба при $$5000$$ подбрасываниях монеты. Тогда $$x$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=5000$$, $$p=\frac12$$.

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение:

$$\mu=np=5000\cdot \frac12=2500,$$

$$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{5000\cdot \frac12\cdot \frac12}=\sqrt{1250}\approx 35{,}36.$$

Требуется оценить вероятность того, что частота герба лежит в пределах от $$48\%$$ до $$52\%$$, то есть

$$P(0{,}48\le \frac{x}{5000}\le 0{,}52)=P(2400\le x\le 2600).$$

Переходим к нормированной случайной величине:

$$P(2400\le x\le 2600)=P\left(\frac{2400-2500}{35{,}36}\le z\le \frac{2600-2500}{35{,}36}\right).$$

Получаем

$$P(-2{,}83\le z\le 2{,}83).$$

По таблице значений функции Лапласа:

$$P(0\le z\le 2{,}83)\approx 0{,}49767.$$

Тогда

$$P(-2{,}83\le z\le 2{,}83)\approx 2\cdot 0{,}49767=0{,}99534.$$

Ответ

$$0{,}99534\approx 99{,}5\%.$$