Упр.41 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение выражения: 1) $$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\ldots+\frac{1}{9\cdot10}$$; 2) $$\frac{3}{2\cdot5}+\frac{3}{5\cdot8}+\frac{3}{8\cdot11}+\ldots+\frac{3}{26\cdot29}$$.

1. Преобразуем каждый член суммы:
   $$\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,$$
   $$\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,$$
   и так далее.

   Тогда
   $$\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{9\cdot 10} = \left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac19-\frac1{10}\right).$$

   В сумме сокращаются все промежуточные слагаемые:
   $$\frac12-\frac1{10}=\frac{5-1}{10}=\frac{4}{10}=\frac25.$$

2. Аналогично:
   $$\frac{3}{2\cdot 5}=\frac{5-2}{2\cdot 5}=\frac12-\frac15,$$
   $$\frac{3}{5\cdot 8}=\frac{8-5}{5\cdot 8}=\frac15-\frac18,$$
   и так далее.

   Тогда
   $$\frac{3}{2\cdot 5}+\frac{3}{5\cdot 8}+\frac{3}{8\cdot 11}+\cdots+\frac{3}{26\cdot 29} = \left(\frac12-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac18\right)+\cdots+\left(\frac1{26}-\frac1{29}\right).$$

   После сокращения получаем:
   $$\frac12-\frac1{29}=\frac{29-2}{58}=\frac{27}{58}.$$

Ответ

1) $$\frac25$$
2) $$\frac{27}{58}$$