Упр.406 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x^3+x-v3, g(x)=3x^2-x-ln(2);
2) f(x)=x-x^3, g(x)=2/x;
3) f(x)=2·3^x, g(x)=9^(x-1).

Подробный ответ

$$f(x)=x^3+x-\sqrt{3}, \quad g(x)=3x^2-x-\ln 2.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=3x^2+1, \quad g'(x)=6x-1.$$
Решаем неравенство:
$$3x^2+1 \ge 6x-1$$
$$3x^2-6x+2 \ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 2=36-24=12,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{12}}{2\cdot 3}=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pm \sqrt{3}}{3}.$$
Так как старший коэффициент положительный, то неравенство выполняется вне промежутка между корнями:
$$x\in \left(-\infty;\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{3}}{3};+\infty\right).$$
$$f(x)=x-x^3, \quad g(x)=\frac{2}{x}.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=1-3x^2, \quad g'(x)=-\frac{2}{x^2}.$$
Решаем неравенство:
$$1-3x^2 \ge -\frac{2}{x^2}, \quad x\ne 0.$$
Умножим на $$x^2>0$$:
$$x^2-3x^4 \ge -2$$
$$3x^4-x^2-2 \le 0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$3t^2-t-2 \le 0.$$
Найдём корни:
$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}.$$
Отсюда:
$$t_1=-\frac{2}{3}, \quad t_2=1.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем:
$$0\le x^2\le 1,\quad x\ne 0.$$
Следовательно,
$$x\in [-1;0)\cup (0;1].$$
$$f(x)=2\cdot 3^x, \quad g(x)=9^{x-1}.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=2\cdot 3^x\ln 3, \quad g'(x)=9^{x-1}\ln 9.$$
Решаем неравенство:
$$2\cdot 3^x\ln 3 \ge 9^{x-1}\ln 9.$$
Так как $$\ln 9=2\ln 3,$$ то
$$2\cdot 3^x\ln 3 \ge 2\cdot 9^{x-1}\ln 3.$$
Делим на положительное число $$2\ln 3$$:
$$3^x \ge 9^{x-1}.$$
Преобразуем:
$$3^x \ge 3^{2x-2}.$$
Так как основание $$3>1,$$ сравниваем показатели:
$$x \ge 2x-2,$$
$$x\le 2.$$
Значит,
$$x\in (-\infty;2].$$