Упр.405 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение производной данной функции в точке $$x_0$$:

1) $$f(x)=\frac{3x^2}{1-x}$$, $$x_0=-1$$;

4) $$f(x)=\cos(2x)-\sin\frac{\pi}{3}$$, $$x_0=\frac{\pi}{2}$$;

2) $$f(x)=\sqrt{5x^2-2x}$$, $$x_0=2$$;

5) $$f(x)=\frac{\ln x}{x}$$, $$x_0=1$$;

3) $$f(x)=\frac{1+\sin x}{4-\sin x}$$, $$x_0=0$$;

6) $$f(x)=e^{2x-1}$$, $$x_0=\frac{1}{2}$$.

1. $$f(x)=\frac{3x^2}{1-x}, \quad x_0=-1$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(3x^2)'(1-x)-3x^2(1-x)’}{(1-x)^2} =\frac{6x(1-x)+3x^2}{(1-x)^2}$$

   $$f'(-1)=\frac{6\cdot(-1)\cdot(1-(-1))+3\cdot(-1)^2}{(1-(-1))^2} =\frac{-12+3}{4}=-\frac{9}{4}$$

2. $$f(x)=\sqrt{5x^2-2x}, \quad x_0=2$$

   $$f'(x)=\frac{(5x^2-2x)’}{2\sqrt{5x^2-2x}} =\frac{10x-2}{2\sqrt{5x^2-2x}}$$

   $$f'(2)=\frac{20-2}{2\sqrt{20-4}} =\frac{18}{2\cdot 4} =\frac{9}{4}$$

3. $$f(x)=\frac{1+\sin x}{4-\sin x}, \quad x_0=0$$

   $$f'(x)=\frac{\cos x(4-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(4-\sin x)^2}$$

   $$f'(0)=\frac{1\cdot 4-(1+0)(-1)}{4^2} =\frac{4+1}{16} =\frac{5}{16}$$

4. $$f(x)=\cos 2x-\sin\frac{\pi}{3}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}$$

   $$f'(x)=(\cos 2x)’=-2\sin 2x$$

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\pi=0$$

5. $$f(x)=\frac{\ln x}{x}, \quad x_0=1$$

   $$f'(x)=\frac{(\ln x)’ \cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}$$

   $$f'(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1$$

6. $$f(x)=e^{2x-1}, \quad x_0=\frac{1}{2}$$

   $$f'(x)=\left(e^{2x-1}\right)’=2e^{2x-1}$$

   $$f’\left(\frac{1}{2}\right)=2e^{2\cdot \frac12-1}=2e^0=2$$

Ответ

1) $$-\frac{9}{4}$$; 2) $$\frac{9}{4}$$; 3) $$\frac{5}{16}$$; 4) $$0$$; 5) $$1$$; 6) $$2$$.