Упр.403 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) x^log(5, x-2)=125; 3) x^(2log(7, x))=7x;
2) x^lg(x)=100x; 4) x^log(6, x)=36/x.
$$x^{\log_5(x-2)}=125$$
Так как $$125=5^3$$, получаем
$$\log_5\left(x^{\log_5(x-2)}\right)=\log_5 125$$
$$\log_5 x\cdot \log_5(x-2)=3$$
Положим $$t=\log_5 x$$. Тогда $$\log_5(x-2)=t-2$$, и
$$t(t-2)=3$$
$$t^2-2t-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=3$$
Тогда
$$x_1=5^{-1}=\frac15,\quad x_2=5^3=125$$
$$x^{\lg x}=100x$$
$$x^{\lg x-1}=100$$
Так как $$100=10^2$$, имеем
$$\lg\left(x^{\lg x-1}\right)=\lg 100$$
$$\lg x\cdot(\lg x-1)=2$$
$$\lg^2 x-\lg x-2=0$$
Положим $$t=\lg x$$. Тогда
$$t^2-t-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=2$$
Следовательно,
$$x_1=10^{-1}=0{,}1,\quad x_2=10^2=100$$
$$x^{2\log_7 x}=7x$$
$$x^{2\log_7 x-1}=7$$
Так как $$7=7^1$$, получаем
$$\log_7\left(x^{2\log_7 x-1}\right)=\log_7 7$$
$$\log_7 x\cdot(2\log_7 x-1)=1$$
$$2\log_7^2 x-\log_7 x-1=0$$
Положим $$t=\log_7 x$$. Тогда
$$2t^2-t-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$
$$t_1=-\frac12,\quad t_2=1$$
Следовательно,
$$x_1=7^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt7},\quad x_2=7$$
$$x^{\log_6 x}=\frac{36}{x}$$
$$x^{\log_6 x+1}=36$$
Так как $$36=6^2$$, имеем
$$\log_6\left(x^{\log_6 x+1}\right)=\log_6 36$$
$$\log_6 x\cdot(\log_6 x+1)=2$$
$$\log_6^2 x+\log_6 x-2=0$$
Положим $$t=\log_6 x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$
$$t_1=-2,\quad t_2=1$$
Следовательно,
$$x_1=6^{-2}=\frac{1}{36},\quad x_2=6$$
Ответ
1) $$\frac15,\ 125$$; 2) $$0{,}1,\ 100$$; 3) $$\frac{1}{\sqrt7},\ 7$$; 4) $$\frac{1}{36},\ 6$$.
