Упр.402 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (lg(x))^2-lg(x)?0; 4) (log(1/3, -x))^2-log(1/3, -x)?2;
2) (ln(x))^2+ln(x)?0; 5) ((lg(x))^2-3lg(x)+3)/(lg(x)-1) > 1;
3) 3(log(8, x))^2+2log(8, x)-5?0;
6) ((log(6, x))^2+2log(6, x)-6)/log(6, x) < 1.
$$\lg^2 x-\lg x\ge 0$$
$$\lg x(\lg x-1)\ge 0$$
Отсюда
$$\lg x\le 0 \quad \text{или} \quad \lg x\ge 1.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем
$$0<x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 10.$$
$$\ln^2 x+\ln x\le 0$$
$$\ln x(\ln x+1)\le 0$$
Тогда
$$-1\le \ln x\le 0.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{e}\le x\le 1.$$
$$3(\log_8 x)^2+2\log_8 x-5\ge 0$$
Пусть $$t=\log_8 x$$. Тогда
$$3t^2+2t-5\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}, \quad t_1=-\frac{5}{3}, \quad t_2=1.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t\le -\frac{5}{3} \quad \text{или} \quad t\ge 1.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем
$$0<x\le 8^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{32} \quad \text{или} \quad x\ge 8.$$
$$\log_{\frac13}^2(-x)-\log_{\frac13}(-x)\le 2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\log_{\frac13}^2(-x)-\log_{\frac13}(-x)-2\le 0.$$
Пусть $$t=\log_{\frac13}(-x)$$. Тогда
$$t^2-t-2\le 0,$$
$$ (t+1)(t-2)\le 0,$$
откуда
$$-1\le t\le 2.$$
Значит,
$$-1\le \log_{\frac13}(-x)\le 2.$$
Так как основание $$\frac13<1$$, получаем
$$\left(\frac13\right)^2\le -x\le \left(\frac13\right)^{-1},$$
то есть
$$\frac19\le -x\le 3.$$
Умножая на $$-1$$ и меняя знаки неравенств, имеем
$$-3\le x\le -\frac19.$$
$$\frac{\lg^2 x-3\lg x+3}{\lg x-1}>1$$
Перенесём единицу в левую часть:
$$\frac{\lg^2 x-3\lg x+3-(\lg x-1)}{\lg x-1}>0,$$
$$\frac{\lg^2 x-4\lg x+4}{\lg x-1}>0,$$
$$\frac{(\lg x-2)^2}{\lg x-1}>0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю при $$\lg x=2$$. Для строгого неравенства нужно, чтобы
$$\lg x-1>0 \quad \text{и} \quad \lg x\ne 2.$$
Следовательно,
$$\lg x>1,\quad \lg x\ne 2,$$
то есть
$$x>10,\quad x\ne 100.$$
$$\frac{\log_6^2 x+2\log_6 x-6}{\log_6 x}<1$$
Перенесём единицу в левую часть:
$$\frac{\log_6^2 x+2\log_6 x-6-\log_6 x}{\log_6 x}<0,$$
$$\frac{\log_6^2 x+\log_6 x-6}{\log_6 x}<0.$$
Пусть $$t=\log_6 x$$. Тогда
$$\frac{t^2+t-6}{t}<0,$$
$$\frac{(t+3)(t-2)}{t}<0.$$
Критические точки: $$t=-3,\; t=0,\; t=2.$$
Решение неравенства:
$$t<-3 \quad \text{или} \quad 0<t<2.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем
$$0<x<6^{-3}=\frac{1}{216} \quad \text{или} \quad 1<x<36.$$
Ответ
1) $$\left(0;1\right]\cup \left[10;+\infty\right)$$; 2) $$\left[\frac{1}{e};1\right]$$; 3) $$\left(0;\frac{1}{32}\right]\cup \left[8;+\infty\right)$$; 4) $$\left[-3;-\frac19\right]$$; 5) $$\left(10;100\right)\cup \left(100;+\infty\right)$$; 6) $$\left(0;\frac{1}{216}\right)\cup \left(1;36\right).$$
