Упр.401 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 3(log(3, x))^2+7log(3, x)-6=0; 5) log(3, x^2)·log(3, x/9)=6;
2) (ln(x))^2-4ln(x)-21=0; 6) (log(5, x^3))^2+5log(5, x^2)+1=0;
3) 2/(lg(x)+2)-1/(lg(x)-4)=1; 7) log(7, 7/x)+(log(7, x))^3=1;
4) (lg(x))^2+2lgx-20=5^log(5, lg(x)); 8) log(9, x)+log(x, 9)=2,5.

1. $$3(\log_3 x)^2+7\log_3 x-6=0$$
   Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда
   $$3t^2+7t-6=0.$$
   $$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6}.$$
   Получаем:
   $$t_1=\frac{2}{3},\quad t_2=-3.$$
   Тогда
   $$x=3^{2/3}=\sqrt[3]{9},\quad x=3^{-3}=\frac{1}{27}.$$
2. $$\bigl(\ln x\bigr)^2-4\ln x-21=0$$
   Пусть $$t=\ln x$$. Тогда
   $$t^2-4t-21=0.$$
   $$D=16+84=100,$$
   $$t_{1,2}=\frac{4\pm 10}{2}.$$
   Значит,
   $$t_1=7,\quad t_2=-3.$$
   Следовательно,
   $$x=e^7,\quad x=e^{-3}.$$
3. $$\frac{2}{\lg x+2}-\frac{1}{\lg x-4}=1$$
   Обозначим $$t=\lg x$$, где $$t\ne -2,\; t\ne 4$$. Тогда
   $$\frac{2}{t+2}-\frac{1}{t-4}=1.$$
   Умножим на $$ (t+2)(t-4) $$:
   $$2(t-4)-(t+2)=(t+2)(t-4).$$
   $$2t-8-t-2=t^2-2t-8,$$
   $$t-10=t^2-2t-8,$$
   $$t^2-3t+2=0,$$
   $$ (t-1)(t-2)=0.$$
   Отсюда
   $$t=1 \text{ или } t=2.$$
   Тогда
   $$x=10,\quad x=100.$$
4. $$\bigl(\lg x\bigr)^2+2\lg x-20=5^{\log_5(\lg x)}$$
   Так как $$5^{\log_5(\lg x)}=\lg x$$ при $$\lg x>0$$, получаем
   $$\bigl(\lg x\bigr)^2+2\lg x-20=\lg x.$$
   Пусть $$t=\lg x$$, тогда
   $$t^2+t-20=0.$$
   $$D=1+80=81,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}.$$
   Значит,
   $$t_1=-5,\quad t_2=4.$$
   С учётом области определения $$\lg x>0$$ подходит только $$t=4$$, поэтому
   $$x=10^4=10000.$$
5. $$\log_3 x^2\cdot \log_3 \frac{x}{9}=6$$
   При $$x>0$$ имеем
   $$\log_3 x^2=2\log_3 x,\qquad \log_3 \frac{x}{9}=\log_3 x-2.$$
   Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда
   $$2t(t-2)=6,$$
   $$2t^2-4t-6=0,$$
   $$t^2-2t-3=0,$$
   $$ (t-3)(t+1)=0.$$
   Отсюда
   $$t=3 \text{ или } t=-1.$$
   Значит,
   $$x=27,\quad x=\frac{1}{3}.$$
6. $$\bigl(\log_5 x^3\bigr)^2-5\log_5 x^2+1=0$$
   Пусть $$t=\log_5 x$$. Тогда
   $$\log_5 x^3=3t,\qquad \log_5 x^2=2t.$$
   Получаем
   $$9t^2-10t+1=0.$$
   $$D=100-36=64,$$
   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18}.$$
   Значит,
   $$t_1=1,\quad t_2=\frac{1}{9}.$$
   Тогда
   $$x=5,\quad x=5^{1/9}=\sqrt[9]{5}.$$
7. $$\log_7 \frac{7}{x}+\bigl(\log_7 x\bigr)^3=1$$
   Пусть $$t=\log_7 x$$. Тогда
   $$\log_7 \frac{7}{x}=1-\log_7 x=1-t.$$
   Получаем
   $$1-t+t^3=1,$$
   $$t^3-t=0,$$
   $$t(t^2-1)=0,$$
   $$t(t-1)(t+1)=0.$$
   Отсюда
   $$t=0,\; t=1,\; t=-1.$$
   Значит,
   $$x=1,\; x=7,\; x=\frac{1}{7}.$$
8. $$\log_9 x+\log_x 9=2{,}5$$
   Пусть $$t=\log_9 x$$, тогда $$\log_x 9=\frac{1}{t}$$, где $$t\ne 0$$. Получаем
   $$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$
   Умножим на $$2t$$:
   $$2t^2-5t+2=0.$$
   $$D=25-16=9,$$
   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
   Значит,
   $$t_1=\frac{1}{2},\quad t_2=2.$$
   Тогда
   $$x=9^{1/2}=3,\quad x=9^2=81.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{27},\ \sqrt[3]{9}$$; 2) $$e^{-3},\ e^7$$; 3) $$10,\ 100$$; 4) $$10000$$; 5) $$\frac{1}{3},\ 27$$; 6) $$\sqrt[9]{5},\ 5$$; 7) $$\frac{1}{7},\ 1,\ 7$$; 8) $$3,\ 81$$.