Упр.400 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) log(2, x)+log(2, x+1)?1;
2) log(1/6, x)+log(1/6, x-1)?log(1/6, x+3);
3) log(3, 4-x)+log(3, x+3)?1+log(3, x-1);
4) log(1/2, x+2)+log(1/2, x+3)?log(1/2, 3)-1.

Подробный ответ

$$\log_2 x+\log_2(x+1)\le 1$$
$$\log_2\bigl(x(x+1)\bigr)\le \log_2 2$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$x(x+1)\le 2$$
$$x^2+x-2\le 0$$
$$ (x+2)(x-1)\le 0 $$
Отсюда $$-2\le x\le 1$$.
Область определения:
$$x>0,\quad x+1>0$$
$$x>0$$
Пересечение с найденным промежутком:
$$x\in(0;1]$$
$$\log_{\frac16}x+\log_{\frac16}(x-1)\ge \log_{\frac16}(x+3)$$
$$\log_{\frac16}\bigl(x(x-1)\bigr)\ge \log_{\frac16}(x+3)$$
Так как основание $$\frac16<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(x-1)\le x+3$$
$$x^2-2x-3\le 0$$
$$ (x+1)(x-3)\le 0 $$
Отсюда $$-1\le x\le 3$$.
Область определения:
$$x>0,\quad x-1>0,\quad x+3>0$$
$$x>1$$
Пересечение:
$$x\in(1;3]$$
$$\log_3(4-x)+\log_3(x+3)\le 1+\log_3(x-1)$$
$$\log_3\bigl((4-x)(x+3)\bigr)\le \log_3\bigl(3(x-1)\bigr)$$
Так как основание $$3>1$$, получаем:
$$ (4-x)(x+3)\le 3(x-1) $$
$$ -x^2+x+12\le 3x-3 $$
$$ x^2+2x-15\ge 0 $$
$$ (x+5)(x-3)\ge 0 $$
Отсюда $$x\le -5$$ или $$x\ge 3$$.
Область определения:
$$4-x>0,\quad x+3>0,\quad x-1>0$$
$$-3<x<4,\quad x>1$$
Значит, $$1<x<4$$.
Пересечение:
$$x\in[3;4)$$
$$\log_{\frac12}(x+2)+\log_{\frac12}(x+3)\ge \log_{\frac12}3-1$$
Так как $$1=\log_{\frac12}\frac12$$, то
$$\log_{\frac12}3-1=\log_{\frac12}3-\log_{\frac12}\frac12=\log_{\frac12}6$$
Тогда
$$\log_{\frac12}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)\ge \log_{\frac12}6$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$ (x+2)(x+3)\le 6 $$
$$ x^2+5x+6\le 6 $$
$$ x^2+5x\le 0 $$
$$ x(x+5)\le 0 $$
Отсюда $$-5\le x\le 0$$.
Область определения:
$$x+2>0,\quad x+3>0$$
$$x>-2$$
Пересечение:
$$x\in(-2;0]$$