Упр.4.50 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) log_8 9, если log_12 18=a; 2) log_5 6, если lg 2=a, lg 3=b.

1) Найдём $$\log_8 9$$ через логарифм по основанию $$3$$:

$$ \log_8 9=\log_{2^3} 3^2=\frac{2}{3}\log_2 3. $$

Из условия $$\log_{12} 18=a$$, значит

$$ \log_{12} 18=\frac{\log_2 18}{\log_2 12}=a. $$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \frac{\log_2(2\cdot 9)}{\log_2(4\cdot 3)}=a, $$
$$ \frac{\log_2 2+\log_2 3^2}{\log_2 2^2+\log_2 3}=a, $$
$$ \frac{1+2\log_2 3}{2+\log_2 3}=a. $$

Обозначим $$x=\log_2 3$$. Тогда

$$ \frac{1+2x}{2+x}=a, $$
$$ 1+2x=2a+ax, $$
$$ x(2-a)=2a-1, $$
$$ x=\frac{2a-1}{2-a}. $$

Следовательно,

$$ \log_8 9=\frac{2}{3}\cdot \frac{2a-1}{2-a} =\frac{2(2a-1)}{3(2-a)}. $$

2) Найдём $$\log_5 6$$ через десятичные логарифмы:

$$ \log_5 6=\frac{\lg 6}{\lg 5} =\frac{\lg(2\cdot 3)}{\lg(10:2)}. $$

Тогда

$$ \log_5 6=\frac{\lg 2+\lg 3}{\lg 10-\lg 2} =\frac{a+b}{1-a}. $$

Ответ

$$ 1)\ \frac{2(2a-1)}{3(2-a)};\qquad 2)\ \frac{a+b}{1-a}. $$