Упр.4.43 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

1) $$\lg(xy)=\lg x+\lg y$$;

3) $$\lg x^2+\lg y^2=2\lg|x|+2\lg|y|$$;

2) $$\lg(xy)=\lg(-x)+\lg(-y)$$;

4) $$\log_x^2 y^2=\log_x(-y)$$.

1. $$\lg(xy)=\lg x+\lg y$$
   
   По свойству логарифма:
   $$\lg x+\lg y=\lg(xy).$$
   Это равенство верно при условии существования логарифмов:
   $$x>0,\quad y>0.$$
   Значит, множество точек — первая четверть координатной плоскости.
2. $$\lg(xy)=\lg(-x)+\lg(-y)$$
   
   Тогда
   $$\lg(xy)=\lg\bigl((-x)(-y)\bigr)=\lg(xy).$$
   Область определения:
   $$-x>0,\quad -y>0,$$
   то есть
   $$x<0,\quad y<0.$$
   Следовательно, множество точек — третья четверть.
3. $$\lg x^2+\lg y^2=2\lg|x|+2\lg|y|$$
   
   Так как
   $$\lg x^2=\lg|x|^2=2\lg|x|,\qquad \lg y^2=2\lg|y|,$$
   равенство тождественно верно при существовании логарифмов:
   $$x\ne 0,\quad y\ne 0.$$
   Значит, множество точек — вся координатная плоскость, кроме осей.
4. $$\log_{x^2} y^2=\log_x(-y)$$
   
   Для существования логарифмов нужно:
   $$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad y^2>0,\quad -y>0.$$
   Отсюда:
   $$x\ne 0,\quad x\ne \pm 1,\quad y<0.$$
   Кроме того,
   $$\log_{x^2} y^2=\log_{x^2}(-y)^2=\log_{x^2} y^2,$$
   поэтому равенство выполняется при указанных условиях.
   Значит, множество точек — полуплоскость $$y<0$$ без прямых $$x=0$$ и $$x=\pm 1$$.

Ответ

1) $$x>0,\ y>0$$ — первая четверть;
2) $$x<0,\ y<0$$ — третья четверть;
3) $$x\ne 0,\ y\ne 0$$ — вся плоскость без осей;
4) $$y<0,\ x\ne 0,\ x\ne \pm 1$$ — нижняя полуплоскость без прямых $$x=0$$ и $$x=\pm 1$$.