Упр.4.41 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=lg tg(x)+lg ctg(x); 6) y=2^(log_2 x^2);
2) y=log_x 1; 7) y=log_(1/2) x/log_(1/2) x;
3) y=3^(log_3 (x+3)); 8) y=log_(1/2) log_(3-x) (3-x)^4;
4) y=5^(-log_5 x); 5) y=10^(1/log_x 10); 9) y=2^(log_4 x^2).

1. $$y=\lg \tg x+\lg \ctg x=\lg(\tg x\cdot \ctg x)=\lg 1=0.$$

   Область определения: $$\tg x>0,\ \ctg x>0.$$

   Отсюда

   $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad \pi+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   График — часть оси $$Ox$$ на указанных промежутках.

2. $$y=\log_x 1=0.$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть оси $$Ox$$ при $$x>0$$, кроме точки $$x=1$$.

3. $$y=3^{\log_3(x+3)}=x+3.$$

   Область определения: $$x+3>0,\ x>-3.$$

   График — прямая $$y=x+3$$ при $$x>-3$$, точка $$(-3,0)$$ не входит.

4. $$y=5^{-\log_5 x}=5^{\log_5 x^{-1}}=x^{-1}=\frac{1}{x}.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   График — ветвь гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ в первой четверти.

5. $$y=10^{\frac{1}{\log_x 10}}.$$

   Так как $$\log_x 10=\frac{1}{\log_{10}x},$$ то

   $$\frac{1}{\log_x 10}=\log_{10}x=\lg x.$$

   Следовательно,

   $$y=10^{\lg x}=x.$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть прямой $$y=x$$ при $$x>0$$, кроме точки $$x=1$$.

6. $$y=2^{\log_2 x^2}=x^2.$$

   Область определения: $$x^2>0,\ x\ne 0.$$

   График — парабола $$y=x^2$$ без точки $$x=0$$.

7. $$y=\frac{\log_{1/2}x}{\log_{1/2}x}=1.$$

   Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$

   График — часть прямой $$y=1$$ при $$x>0$$, кроме точки $$x=1$$.

8. $$y=\log_{1/2}\log_{3-x}(3-x)^4.$$

   Сначала

   $$\log_{3-x}(3-x)^4=4,$$

   если $$3-x>0$$ и $$3-x\ne 1.$$ Тогда

   $$y=\log_{1/2}4=-2.$$

   Область определения: $$3-x>0,\ x<3;\quad 3-x\ne 1,\ x\ne 2.$$

   График — часть прямой $$y=-2$$ при $$x<3$$, кроме точки $$x=2$$.

9. $$y=2^{\log_4 x^2}=2^{\frac{1}{2}\log_2 x^2}=2^{\log_2|x|}=|x|.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   График — модульная функция $$y=|x|$$ без точки $$x=0$$.

Ответ

1. $$y=0,\quad x\in\left(2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
2. $$y=0,\quad x>0,\ x\ne 1.$$
3. $$y=x+3,\quad x>-3.$$
4. $$y=\frac{1}{x},\quad x>0.$$
5. $$y=x,\quad x>0,\ x\ne 1.$$
6. $$y=x^2,\quad x\ne 0.$$
7. $$y=1,\quad x>0,\ x\ne 1.$$
8. $$y=-2,\quad x<3,\ x\ne 2.$$
9. $$y=|x|,\quad x\ne 0.$$