Упр.4.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение выражения $$\log_4 5\cdot\log_5 6\cdot\log_6 7\cdot\log_7 32$$.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Тогда

$$\log_4 5\cdot \log_5 6\cdot \log_6 7\cdot \log_7 32$$

равно

$$\frac{\log_{32}5}{\log_{32}4}\cdot \frac{\log_{32}6}{\log_{32}5}\cdot \frac{\log_{32}7}{\log_{32}6}\cdot \frac{\log_{32}32}{\log_{32}7}.$$

Сокращаем одинаковые множители:

$$\frac{\log_{32}32}{\log_{32}4}=\log_4 32.$$

Так как $$32=2^5$$ и $$4=2^2,$$ то

$$\log_4 32=\log_{2^2} 2^5=\frac{5}{2}.$$

Ответ

$$\frac{5}{2}$$