Упр.4.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\log_3 2\cdot\log_4 3\cdot\log_5 4\cdot\dots\cdot\log_{10} 9$$.

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\lg b}{\lg a}.$$

Тогда

$$\log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \ldots \cdot \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 4}\cdot \frac{\lg 4}{\lg 5}\cdot \ldots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10}.$$

В произведении все промежуточные множители сокращаются:

$$\frac{\lg 2}{\lg 10}.$$

Так как $$\lg 10=1,$$ получаем

$$\lg 2.$$

Ответ

$$\lg 2$$