Упр.4.38 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. $$\lg \sin 1^\circ \cdot \lg \sin 2^\circ \cdot \lg \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \lg \sin 89^\circ \cdot \lg \sin 90^\circ$$

   Так как $$\sin 90^\circ=1,$$ то $$\lg \sin 90^\circ=\lg 1=0.$$
   Тогда всё произведение равно
   $$\lg \sin 1^\circ \cdot \ldots \cdot 0=0.$$

2. $$\lg \tg 10^\circ \cdot \lg \tg 15^\circ \cdot \lg \tg 20^\circ \cdot \ldots \cdot \lg \tg 75^\circ \cdot \lg \tg 80^\circ$$

   Среди множителей есть $$\lg \tg 45^\circ,$$ а $$\tg 45^\circ=1,$$ значит
   $$\lg \tg 45^\circ=\lg 1=0.$$
   Следовательно, всё произведение равно $$0.$$

3. $$\lg \bigl(\tg 30^\circ \cdot \tg 32^\circ \cdot \tg 34^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 58^\circ \cdot \tg 60^\circ\bigr)$$

   Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg \alpha.$$ Тогда

   $$\tg 60^\circ=\ctg 30^\circ,\quad \tg 58^\circ=\ctg 32^\circ,\quad \ldots$$

   Поэтому
   $$\tg 30^\circ \cdot \tg 32^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 58^\circ \cdot \tg 60^\circ =1.$$
   Тогда
   $$\lg 1=0.$$

4. $$\lg \tg 1^\circ+\lg \tg 2^\circ+\lg \tg 3^\circ+\ldots+\lg \tg 88^\circ+\lg \tg 89^\circ$$

   Сложение логарифмов заменим логарифмом произведения:
   $$\lg \tg 1^\circ+\lg \tg 2^\circ+\ldots+\lg \tg 89^\circ =\lg\bigl(\tg 1^\circ\cdot \tg 2^\circ\cdot \ldots \cdot \tg 89^\circ\bigr).$$

   Сгруппируем множители:
   $$\tg k^\circ \cdot \tg(90^\circ-k^\circ)=1.$$
   Тогда все пары дают произведение $$1,$$ а
   $$\tg 45^\circ=1.$$
   Значит, всё произведение равно $$1,$$ и
   $$\lg 1=0.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$0$$; 4) $$0$$.