Упр.4.37 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ верно равенство:

1. 1) $$\log_2(1-x^2)=\log_2(1-x)+\log_2(1+x)$$;
   2) $$\lg\left(\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}\right)=\lg(x^2-2x+1)-\lg(x^2+1)$$;
   3) $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5(2-x)$$;
   4) $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5|x-2|$$?

1. $$\log_2(1-x^2)=\log_2(1-x)+\log_2(1+x)$$
   $$\log_2(1-x^2)=\log_2\bigl((1-x)(1+x)\bigr)=\log_2(1-x^2)$$
   Для существования логарифмов нужно:
   $$1-x>0,\quad 1+x>0,\quad 1-x^2>0$$
   Отсюда
   $$-1<x<1.$$
   При этом равенство верно.
2. $$\lg\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\lg(x^2-2x+1)-\lg(x^2+1)$$
   $$\lg\frac{(x-1)^2}{x^2+1}=\lg\frac{(x-1)^2}{x^2+1}$$
   Нужно, чтобы аргументы логарифмов были положительными:
   $$x^2-2x+1>0,\quad x^2+1>0.$$
   Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ остаётся
   $$(x-1)^2>0,\quad x\ne 1.$$
   Значит,
   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
3. $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5(2-x)$$
   $$\log_5(x-2)^2=\log_5(2-x)^2$$
   Для существования правой части нужно:
   $$2-x>0,\quad x<2.$$
   Тогда
   $$(x-2)^2=(2-x)^2,$$
   и равенство верно при всех $$x<2.$$
4. $$\log_5(x^2-4x+4)=2\log_5|x-2|$$
   $$\log_5(x-2)^2=2\log_5|x-2|$$
   Так как
   $$(x-2)^2=|x-2|^2,$$
   то равенство верно при всех допустимых значениях:
   $$(x-2)^2>0,\quad x\ne 2.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-1;1)$$; 2) $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;2)$$; 4) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$.