Упр.4.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения $$\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5})$$ является целым числом.

Заметим, что

$$(9-4\sqrt5)(9+4\sqrt5)=81-16\cdot 5=1.$$

Следовательно,

$$9+4\sqrt5=(9-4\sqrt5)^{-1}.$$

Тогда

$$\log_{9-4\sqrt5}(9+4\sqrt5)=\log_{9-4\sqrt5}(9-4\sqrt5)^{-1}=-1.$$

Полученное значение является целым числом.

Ответ

$$-1$$