Упр.4.35 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что значение выражения $$\log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3})$$ является целым числом.

Заметим, что

$$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})=49-16\cdot 3=49-48=1.$$

Значит,

$$7-4\sqrt{3}=\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=(7+4\sqrt{3})^{-1}.$$

Тогда

$$\log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3}) =\log_{7+4\sqrt{3}}\bigl((7+4\sqrt{3})^{-1}\bigr) =-1.$$

Полученное значение является целым числом.

Ответ

$$-1$$