Упр.4.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{\log_a(ab)(\log_b a-1+\log_a b)}{1+(\log_a b)^3}$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\log_a(ab)\,(\log_b a-1+\log_a b)}{1+(\log_a b)^3}$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_a(ab)=\log_a a+\log_a b=1+\log_a b,$$

а также

$$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}.$$

Тогда числитель можно записать так:

$$\log_a(ab)\,(\log_b a-1+\log_a b)=(1+\log_a b)\left(\frac{1}{\log_a b}-1+\log_a b\right).$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\log_a b}-1+\log_a b=\frac{1-\log_a b+(\log_a b)^2}{\log_a b}.$$

Тогда

$$\frac{(1+\log_a b)\cdot \frac{1-\log_a b+(\log_a b)^2}{\log_a b}}{1+(\log_a b)^3}.$$

Заметим, что

$$1+(\log_a b)^3=(1+\log_a b)\bigl(1-\log_a b+(\log_a b)^2\bigr).$$

Сокращаем:

$$\frac{(1+\log_a b)\cdot \frac{1-\log_a b+(\log_a b)^2}{\log_a b}}{(1+\log_a b)\bigl(1-\log_a b+(\log_a b)^2\bigr)}=\frac{1}{\log_a b}.$$

По формуле взаимности логарифмов:

$$\frac{1}{\log_a b}=\log_b a.$$

Ответ

$$\log_b a$$