Упр.4.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 4.33. Упростите выражение (1-(log_a b)^3)/((log_a b+log_b a+1)log_a a/b).

Обозначим $$x=\log_a b.$$ Тогда $$\log_b a=\frac{1}{x},$$ а также

$$\log_a \frac{a}{b}=\log_a a-\log_a b=1-x.$$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{1-(\log_a b)^3}{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a \frac{a}{b}} = \frac{1-x^3}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}. $$

Разложим числитель на множители:

$$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).$$

Тогда

$$ \frac{(1-x)(1+x+x^2)}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)} = \frac{1+x+x^2}{x+\frac{1}{x}+1}. $$

Приведём знаменатель к общему виду:

$$ x+\frac{1}{x}+1=\frac{x^2+x+1}{x}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1+x+x^2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=x. $$

Возвращаясь к обозначению, получаем:

$$x=\log_a b.$$

Ответ

$$\log_a b$$