Упр.4.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{1-(\log_a b)^3}{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a\frac{a}{b}}$$.

Обозначим $$x=\log_a b.$$ Тогда $$\log_b a=\frac{1}{\log_a b}=\frac{1}{x},$$ а также

$$\log_a \frac{a}{b}=\log_a a-\log_a b=1-x.$$

Подставим это в выражение:

$$\frac{1-(\log_a b)^3}{(\log_a b+\log_b a+1)\log_a \frac{a}{b}} = \frac{1-x^3}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)}.$$

Разложим числитель на множители:

$$1-x^3=(1-x)(1+x+x^2).$$

Тогда

$$\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{\left(x+\frac{1}{x}+1\right)(1-x)} = \frac{1+x+x^2}{x+\frac{1}{x}+1}.$$

Приведём знаменатель к общему виду:

$$x+\frac{1}{x}+1=\frac{x^2+x+1}{x}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+x+x^2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=x.$$

Возвращаясь к обозначению, получаем:

$$x=\log_a b.$$

Ответ

$$\log_a b$$