Упр.4.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 4.32. Вычислите значение выражения 6^(6/log_v2 6+1/3 log_6 27)-12log_7 (7·7^(1/4))^(1/5).

Используем свойства логарифмов и степеней:

$$\log_{\sqrt{2}} 6=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2}\cdot 3)=\log_{\sqrt{2}}\sqrt{2}+\log_{\sqrt{2}}3=1+\log_{\sqrt{2}}3,$$

но удобнее сразу преобразовать показатель степени:

$$\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6}+\frac13\log_6 27 =6\log_6\sqrt{2}+\frac13\log_6 27.$$

Тогда

$$6^{\,6\log_6\sqrt{2}+\frac13\log_6 27} =6^{6\log_6\sqrt{2}}\cdot 6^{\frac13\log_6 27} =(\sqrt{2})^6\cdot 27^{1/3}.$$

Вычислим:

$$ (\sqrt{2})^6=2^3=8,\qquad 27^{1/3}=3,$$

значит

$$6^{\,6\log_6\sqrt{2}+\frac13\log_6 27}=8\cdot 3=24.$$

Теперь второй множитель:

$$7\cdot 7^{1/4}=7^{1+1/4}=7^{5/4},$$

поэтому

$$\log_7\left(7\cdot 7^{1/4}\right)^{1/5} =\log_7\left(7^{5/4}\right)^{1/5} =\log_7 7^{1/4} =\frac14.$$

Тогда

$$12\log_7\left(7\cdot 7^{1/4}\right)^{1/5}=12\cdot \frac14=3.$$

Итак, значение выражения равно

$$24-3=21.$$

Ответ

$$21$$