Упр.4.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение выражения $$5^{\left(\frac{4}{\log_{\sqrt{3}}5}+\frac{1}{2}\log_5 4\right)}+36\log_2\left(2\cdot2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}}.$$

$$5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}+\frac{1}{2}\log_5 4}+36\log_2\left(2\cdot 2^{1/3}\right)^{1/4}$$

Используем свойство $$\frac{1}{\log_a b}=\log_b a$$:

$$\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}=4\log_5 \sqrt{3}.$$

Тогда

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}+\frac{1}{2}\log_5 4} =5^{4\log_5 \sqrt{3}}\cdot 5^{\frac{1}{2}\log_5 4}.$$

Преобразуем каждый множитель:

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}}=\left(5^{\log_5 \sqrt{3}}\right)^4=(\sqrt{3})^4=9,$$

$$5^{\frac{1}{2}\log_5 4}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{1/2}=4^{1/2}=2.$$

Значит, первая часть равна $$9\cdot 2=18.$$

Теперь рассмотрим вторую часть:

$$\left(2\cdot 2^{1/3}\right)^{1/4}= \left(2^{1+1/3}\right)^{1/4}=\left(2^{4/3}\right)^{1/4}=2^{1/3}.$$

Тогда

$$36\log_2 2^{1/3}=36\cdot \frac{1}{3}=12.$$

Складываем результаты:

$$18+12=30.$$

Ответ

30