Упр.4.31 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 4.31. Вычислите значение выражения 5^(4/log_v3 5+1/2 log_5 4)+36log_2 (2·2^(1/3))^(1/4).

Вычислим по частям:

$$5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}+\frac{1}{2}\log_5 4}+36\log_2\left(2\cdot 2^{\frac13}\right)^{\frac14}$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\frac{1}{\log_{\sqrt{3}} 5}=\log_5 \sqrt{3}$$

Тогда

$$5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}+\frac{1}{2}\log_5 4} =5^{4\log_5 \sqrt{3}+\frac12\log_5 4}$$

Разделим показатель степени:

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}+\frac12\log_5 4} =5^{4\log_5 \sqrt{3}}\cdot 5^{\frac12\log_5 4}$$

$$5^{4\log_5 \sqrt{3}}=\left(5^{\log_5 \sqrt{3}}\right)^4=(\sqrt{3})^4=9,$$

$$5^{\frac12\log_5 4}=\left(5^{\log_5 4}\right)^{\frac12}=4^{\frac12}=2.$$

Значит, первая часть равна $$9\cdot 2=18.$$

Теперь упростим вторую часть:

$$2\cdot 2^{\frac13}=2^{1+\frac13}=2^{\frac43},$$

$$\left(2^{\frac43}\right)^{\frac14}=2^{\frac13}.$$

Тогда

$$36\log_2\left(2^{\frac13}\right)=36\cdot \frac13=12.$$

Складываем результаты:

$$18+12=30.$$

Ответ

30