Упр.4.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение выражения: 1) $$\log_{7}\left(\sin\frac{\pi}{5}\right)\cdot\log_{\sin\frac{\pi}{5}}49$$; 2) $$\log_{3}\left(\cos^2\frac{\pi}{9}\right)\cdot\log_{\cos\frac{\pi}{9}}9$$.

1) Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_7 \sin \frac{\pi}{5}\cdot \log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49 = \frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}}.$$

Так как $$49=7^2,$$ то

$$\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}=\frac{1}{2}\log_7 \sin \frac{\pi}{5}.$$

Тогда

$$\frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}} =\frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\frac{1}{2}\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}=2.$$

2) Аналогично:

$$\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}\cdot \log_{\cos \frac{\pi}{9}} 9 = \frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{\log_9 \cos \frac{\pi}{9}}.$$

Поскольку $$\cos^2 \frac{\pi}{9}=\left(\cos \frac{\pi}{9}\right)^2,$$ получаем

$$\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}=2\log_3 \cos \frac{\pi}{9}.$$

А так как $$9=3^2,$$ то

$$\log_9 \cos \frac{\pi}{9}=\frac{1}{2}\log_3 \cos \frac{\pi}{9}.$$

Следовательно,

$$\frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{\log_9 \cos \frac{\pi}{9}} =\frac{2\log_3 \cos \frac{\pi}{9}}{\frac{1}{2}\log_3 \cos \frac{\pi}{9}}=4.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$4$$.