Упр.399 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) lg(2x-1)+lg(x+5)=lg(13);
2) log(3, 2x-7)+log(3, x-1)=2+log(3, 2);
3) log(0,5; 4-x)+log(0,5; x-1)=-1;
4) log(7, -x)+log(7, 1-x)=log(7, x+3).

1. $$\lg(2x-1)+\lg(x+5)=\lg 13$$

   $$\lg\bigl((2x-1)(x+5)\bigr)=\lg 13$$

   $$ (2x-1)(x+5)=13 $$

   $$ 2x^2+9x-5=13 $$

   $$ 2x^2+9x-18=0 $$

   $$ D=9^2-4\cdot 2\cdot(-18)=81+144=225 $$

   $$ x=\frac{-9\pm 15}{4} $$

   $$ x_1=-6,\quad x_2=\frac{3}{2} $$

   Проверим область определения:

   $$ 2x-1>0,\quad x+5>0 $$

   $$ x>\frac12,\quad x>-5 $$

   Подходит только $$x=\frac32$$.

2. $$\log_3(2x-7)+\log_3(x-1)=2+\log_3 2$$

   $$\log_3\bigl((2x-7)(x-1)\bigr)=\log_3 9+\log_3 2$$

   $$\log_3\bigl((2x-7)(x-1)\bigr)=\log_3 18$$

   $$ (2x-7)(x-1)=18 $$

   $$ 2x^2-9x-11=0 $$

   $$ D=9^2-4\cdot 2\cdot(-11)=81+88=169 $$

   $$ x=\frac{9\pm 13}{4} $$

   $$ x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{2} $$

   Область определения:

   $$ 2x-7>0,\quad x-1>0 $$

   $$ x>\frac72,\quad x>1 $$

   Подходит только $$x=\frac{11}{2}$$.

3. $$\log_{0,5}(4-x)+\log_{0,5}(x-1)=-1$$

   $$\log_{0,5}\bigl((4-x)(x-1)\bigr)=\log_{0,5} 2$$

   $$ (4-x)(x-1)=2 $$

   $$ 4x-4-x^2+x=2 $$

   $$ x^2-5x+6=0 $$

   $$ (x-2)(x-3)=0 $$

   $$ x_1=2,\quad x_2=3 $$

   Область определения:

   $$ 4-x>0,\quad x-1>0 $$

   $$ x<4,\quad x>1 $$

   Оба корня подходят.

4. $$\log_7(-x)+\log_7(1-x)=\log_7(x+3)$$

   $$\log_7\bigl((-x)(1-x)\bigr)=\log_7(x+3)$$

   $$ x^2-x=x+3 $$

   $$ x^2-2x-3=0 $$

   $$ (x-3)(x+1)=0 $$

   $$ x_1=3,\quad x_2=-1 $$

   Область определения:

   $$ -x>0,\quad 1-x>0,\quad x+3>0 $$

   $$ x<0,\quad x<1,\quad x>-3 $$

   Подходит только $$x=-1$$.

Ответ

1) $$\frac32$$; 2) $$\frac{11}{2}$$; 3) $$2,\,3$$; 4) $$-1$$.